Dar açılı ABC üçgeni içinde öyle bir nokta alınız ki, köşelere uzaklıkları toplamı minimum olsun. Bu nokta 1. fermat noktasıdır (Şekilde P noktası). Noktanın yerini belirleyebilmek için üçgenin herhangi iki kenarını kullanarak, bu kenarları taban kabul eden eşkenar üçgenler çizilir (Şekilde AEC ve ADB üçgenleri). EB ve DC doğru parçalarının kesişimi bize P noktasını verir. 

1.fermat noktasi.gsp dosyası için dosya adına tıklayınız..

P noktası dışındaki noktalardan herhangi birinin hareket ettirilmesi durumunda eşkenar üçgenlerin çeşidinde ve 120 derecelik açıların ölçülerinde bir değişiklik olmadığını görebilirsiniz.

Bir dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşit ve dik ise kenarlarının orta noktaları bir  karenin köşeleridir. Yandaki şekle göre, |AC|=|DB| ve [AC][DB] olduğundan KLMN bir karedir.

do1.gsp dosyası için dosya adına tıklayınız..

P, B, K ve L dışındaki noktalardan herhangi birinin hareket ettirilmesi durumunda ABCD dörtgeninin köşegen uzunlukları ve köşegenlerin arasındaki açı değişmeyecektir. Bu rağmen KLMN kare kalmaya devam edecektir.

Bir dörtgenin köşegen uzunlukları birbirine eşit ise kenarlarının orta noktaları bir eşkenar dörtgenin köşeleridir.

do2.gsp dosyası için dosya adına tıklayınız..

Şekildeki herhangi bir nokta, dörtgenin köşegen uzunluklarının birbirine eşitliği bozulmayacak şekilde hareket ettirildiğinde, KLMN dörtgeninin eşkenar dörtgen olma özelliğinin korunduğu görülecektir.