3.1. İspatlar « AhMath

3.1. İspatlar

2.1.1. Üçgenler

2.1.1.

Last modified on 2009-10-22 08:17:46 GMT. 0 comments. Top.

ABC bir üçgen ve D, [BC] nın orta noktasıdır. P, BAC açısının iç bölgesinde BAC üçgeninin dışında bir nokta olsun. K, L ∈ [AP], [CK] ⊥ [AP] ve [BL] ⊥ [AP] ise, |DK| = |DL| olduğunu gösteriniz.

Bir üçgenin iç teğet çemberinin kenarlara değdiği noktaları karşı köşeler ile birleştiren doğru parçaları bir noktada kesişirler. (İSPAT)

Herhangi bir üçgen için, R ve r sırasıyla çevrel çemberin ve iç teğet çemberin yarıçapı olmak üzere, R ile r arasında R ≥ 2r eşitsizliği vardır. (Eşitlik ancak üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir) (İSPAT: Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r, çevrel çemberinin yarıçapı R ve iç teğet çemberinin merkezi ile çevrel çemberinin merkezi arasındaki uzaklık d olmak üzere, r, R ve d arasında $latex d^2 = R \cdot \left( {R - 2r} \right)&s=-2$ bağıntısı vardır. Bu bağıntıda, d² ≥ 0 ve R > 0 olduğudan R – 2r ≥ 0, yani R ≥ 2r olmalıdır. )

Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçapı r, çevrel çemberinin yarıçapı R ve iç teğet çemberinin merkezi ile çevrel çemberinin merkezi arasındaki uzaklık d olmak üzere, r, R ve d arasında $latex d^2 = R \cdot \left( {R - 2r} \right)&s=-2$ bağıntısı vardır. (İSPAT)

Bir ABC üçgeninde yükseklikler arasında h_a = h_b + h_c bağıntısı varsa, $latex \frac{1}{{\sin A}} = \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}}&s=-1$ olduğunu ispatlayınız. (İSPATI YAKINDA)

B köşesi dik ve iç teğet çemberinin yarıçapı r olan ABC dik üçgeninde D∈[AC], [BD]⊥[AC], r₁, ADB üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı ve r₂, CDB üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapıdır. $latex r = \sqrt {r_1^2 + r_2^2 }&s=-2$ olduğunu gösteriniz. (İSPATI YAKINDA)

Bir dik üçgenin hipotenüsü üçgenin iç teğet çemberine D noktasında teğet olsun. Üçgenin alanının, D noktasının hipotenüsün uç noktalarına uzaklıklarının çarpımına eşit olduğunu gösteriniz. (İSPAT)

Bir ABC üçgeninin dış bölgesinde m(RAB) = m(QAC) = 30°, m(RBA) = m(QCA) = 45° ve m(PBC) = m(PCB) = 15° olacak şekilde P, Q ve R noktaları alındığında a) [PR] ⊥ [PQ] ve b) |PR| = |PQ| olduğunu gösteriniz. (IMO – 1975)

2.1.1.1. Açılar

2.1.1.2. Açı – Kenar Bağıntıları

2.1.1.3. Özel Üçgenler

2.1.1.3.1. Dik Üçgen ve Metrik Bağıntılar

2.1.1.3.2. İkizkenar Üçgen

2.1.1.3.3. Eşkenar Üçgen

2.1.1.4. Açıortay Bağıntıları

ABC üçgen ve D, E ve F noktaları sırası ile A, B ve C köşelerinden indirilen dikmelerin kenarları kestikleri noktalar olsun. [AD], [BE] ve [CF] nin DEF üçgeninin iç açıortayları olduklarını ispatlayınız. (İSPAT)

2.1.1.5. Kenarortay Bağıntıları

2.1.1.6. Benzerlik

2.1.1.6.1

Last modified on 2009-10-30 14:59:28 GMT. 0 comments. Top.

ABC çeşitkenar üçgen olmak üzere, B köşesine ait iç açıortayın [AC] nı kestiği nokta E, C köşesine ait iç açıortayın [AB] nı kestiği nokta D ve A köşesine ait dış açıortayın BC doğrusunu kestiği nokta F olsun. D, E ve F noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız. (İSPAT)

2.1.1.6.2.

Last modified on 2009-10-30 15:03:07 GMT. 0 comments. Top.

ABC çeşitkenar üçgen olmak üzere, A köşesine ait dış açıortayın BC doğrusunu kestiği nokta F, B köşesine ait dış açıortayın AC doğrusunu kestiği nokta D, C köşesine ait dış açıortayın AB doğrusunu kestiği nokta E olsun. D, E ve F noktalarının doğrusal olduğunu ispatlayınız. (İSPAT)

2.1.1.7. Alan

2.1.2. Çokgenler ve Dörtgenler

2.1.2.1. Çokgenler

2.1.2.2. Dörtgenler

2.1.2.2.1. Ptolemy Teoremi

Last modified on 2011-06-16 12:25:48 GMT. 0 comments. Top.

Bir ABCD kirişler dörtgeninde kenarlar ile köşegenler arasında

|AC| ⋅ |BD| = |AB| ⋅ |CD| + |AD| ⋅ |BC|

eşitliği vardır. (İSPAT-1)

2.1.2.3. Yamuk

2.1.2.3.1.

Last modified on 2009-10-30 14:24:33 GMT. 0 comments. Top.

Bir ABCD yamuğunda [AB]//[DC] ve [AC] ile [BD] köşegenler olsun. Köşegenlerin kesişim noktası E ve AD ∩ BC = {F} ise, FE doğrusunun [DC] ve [AB] yi ortaladığını gösteriniz.

2.1.2.4. Paralelkenar

2.1.2.5. Eşkenar Dörtgen

2.1.2.6. Dikdörtgen

2.1.2.7. Kare

2.1.2.8. Deltoid

2.1.3. Çember ve Daire

2.1.3.1.

Last modified on 2009-10-30 14:36:54 GMT. 0 comments. Top.

A ve B noktalarında kesişen iki çember veriliyor. A noktasından çemberlere çizilen teğetler, çemberlerden birini C diğerini D noktasında kesiyor. CD doğrusu ABC çemberini F ve ABD çemberini E noktasında kestiğine göre AEF üçgeninin ikizkenar üçgen olduğunu gösteriniz. (İSPAT)

2.1.3.2.

Last modified on 2009-10-30 14:53:34 GMT. 0 comments. Top.

C1 ile C2 iki çember ve C1∩C2 = {P, Q} olsun. P den geçen bir doğru C1 çemberini A ve C2 çemberini B noktasında kessin. A ve B noktalarından çemberlere teğet olan doğrular C noktasında kesişsinler. AQBC nin kirişler dörtgeni olduğunu ispatlayınız.

“3.1. İspatlar” için 1 cevap

Cansu Fidan diyor ki:

29 Ekim 2010, 11:10

Öklid Bağıntısı

• | AB | 2 = | BH | . | BC |
• | AC | 2 = | CH | . | BC |
• | AH | 2 = | BH | . | CH |

Öklid Bağıntılarının İspatları

TEOREM • Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların geometrik ortasıdır.

İSPAT
teorem ifadesine göre:

[AB] ┴ [AC] ve
[AH] ┴ [BC] ise

|HA|2 = |HB| . |HC|
olduğunu göstermemiz gereklidir.

Teorem 1’den faydalanarak HBA ~ HAC yazabiliriz.

Benzer iki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı olduğundan,

|HB| |HA| olur.
|HA| |HC|

Buradan, |HA|2 = |HB| . |HC|  h2 = p . k bulunur.

Teorem

• Bir dik üçgende, her bir dik kenarın uzunluğu, bu dik kenarın hipotenüs üzerindeki dik iz düşümünün uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun geometrik ortasına eşittir.

İSPAT
yandaki şekle göre [AB] ┴ [AC] ve [AH] ┴ [BC]
diyebiliriz
Teorem 1’den faydalanarak HBA ~ ABC yazabiliriz.

Buna göre,

|HB| |BA|
|AB| |BC|

Bundan yola çıkarak |AB|2 = |BH| . |HC| à c2 = p . a bulunur.

Aynı zamanda HAC ~ ABC olur. Buradan,

|HC| |AC|
|AC| |BC|

|AC|2 = |HC| . |BC| à b2 = k . a bulunur.

Teorem 2 ve Teorem 3’te ifade edilen,

h2 = p . k
c2 = p . a
b2 = k . a

denebilir.

Cansu Fidan
6\b 167