Uzay Geometri « AhMath

Twitter Facebook RSS

Uzay Geometri

Noktalar
1. “ $\cdot$ ” ile ifade edilir.
2. büyük harflerle isimlendirilirler.
3. boyutsuzdurlar. Yani, uzunluk, genişlik veya yükseklikleri yoktur.
Doğrular
1. noktalar kümesidir.
2. geometrik olarak iki ucuna ok işareti koyulmuş düz bir çizgi ile ifade edilirler.
3. cebirsel olarak $\mathbb{R}$ ile temsil edilirler.
4. $d$ , $t$ gibi küçük harflerle veya üzerlerindeki farklı iki nokta ile isimlendirilirler.
5. Bir $A$ noktası bir $d$ doğrusu üzerinde ise, bu durum, $A \in d$ şeklinde ifade edilir.
6. Bir $A$ noktası bir $d$ doğrusu üzerinde değil ise, bu durum, $A \notin d$ şeklinde ifade edilir.
7. bir boyutludurlar. Yani, sadece uzunlukları vardır.
Aynı doğru üzerinde bulunan farklı 3 veya daha fazla noktaya doğrusal noktalar veya doğrudaş noktalar denir.
Düzlem,
1. bir noktalar kümesidir.
2. ileri-geri ve sağ-sol yönlerine doğru sonsuza uzanıp giden düz bir yüzeydir.
3. geometrik olarak sayfa üzerinde bir paralelkenar ile temsil edilir.
4. cebirsel olarak $\mathbb{R}^2$ ile temsil edilir.
5. $E$ , $F$ gibi büyük harflerle isimlendirilirler.
6. ismi, temsil edildiği paralelkenarın iç bölgesinde bir köşesine yazılır.
7. iki boyutludur. Yani, sadece uzunluğu ve genişliği vardır.
Düzlemde

bir noktadan sayısız farklı doğru geçebilir.
bir nokta, bir doğru belirtmek için yeterli değildir.
farklı iki noktadan sadece bir tek doğru geçer. Yani, bir doğru belirtmek için farklı iki nokta yeterlidir.
bir noktada dik kesişebilen doğru sayısı en fazla 2 olabilir.
paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini de keser.
paralel iki doğrudan birini dik kesen bir doğru diğerini de dik keser.
bir doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru çizilebilir.
bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve bu doğruya
1. dik olan bir tek doğru çizilebilir.
2. paralel olan bir tek doğru çizilebilir.

Düzlem belirtme aksiyomları:

Doğrusal olmayan farklı üç nokta bir düzlem belirtir.
Bir doğru ile bu doğru üzerinde olmayan bir nokta bir düzlem belirtir.
Farklı ve birbirine paralel iki doğru bir düzlem belirtir.
Farklı ve kesişen iki doğru bir düzlem belirtir.

Düzlem-Nokta İlişkisi

Bir $A$ noktası bir $E$ düzleminin üzerinde ise, bu durum, $A \in E$ şeklinde ifade edilir.
Bir $A$ noktası bir $E$ düzleminin üzerinde değil ise, bu durum, $A \notin E$ şeklinde ifade edilir.
Farklı $n$ tane nokta ile en fazla $\binom{n}{3}}$ tane farklı düzlem tanımlanabilir.

Düzlem-Doğru İlişkisi

Bir doğrunun farklı iki noktası bir düzlem üzerinde ise bu doğrunun bütün noktaları bu düzlem üzerindedir.
Bir doğru ile bir düzlem hiç kesişmeyebilir. Yani, $d$ bir doğru ve $E$ bir düzlem olmak üzere, $d \cap E= \emptyset$ olabilir.
Bir doğru bir düzlemi tek bir noktada kesebilir. Yani, $A$ bir nokta, $d$ bir doğru ve $E$ bir düzlem olmak üzere, $d \cap E= \{A\}$ olabilir.
Bir doğru bir düzlemin alt kümesi olabilir. Yani, $d$ bir doğru ve $E$ bir düzlem olmak üzere, $d \cap E=d$ olabilir.
Bir $E$ düzleminin alt kümesi olan bir $d$ doğrusu, düzlemi, kesişimleri boş küme olan iki alt düzleme ayırır.
Bir düzlemde farklı iki doğru;

ya birbirine paraleldir ve hiç kesişmezler,
ya da bir noktada kesişirler.

Bir düzlemde farklı üç doğru;

ya birbirlerine paraleldir ve hiç kesişmezler,
ya ikisi birbirine paraleldir ve üçüncü doğru paralel doğruları bir noktada keser,
ya ikişer ikişer birer noktada kesişirler,
ya da üçü bir noktada kesişir.

Farklı $n$ adet doğru bir düzlemi

en az $n+1$
en fazla $\frac{n^2+n+2}{2}$ bölgeye ayırır.

Uzay
1. bir noktalar kümesidir.
2. her yöne doğru sonsuza uzanıp gider.
3. geometrik olarak sayfa üzerinde bir küp ile temsil edilir.
4. cebirsel olarak $\mathbb{R}^3$ ile temsil edilir.
5. üç boyutludur. Yani, hem uzunluğu, hem genişliği hem de yüksekliği vardır.
Uzay belirtme aksiyomları:

Dördü de aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta bir uzay belirtir.
Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta uzay belirtir.
Bir düzlem ile, düzlem ile kesişimi boş küme olan bir doğru bir uzay belirtir.
Bir düzlem ile bu düzlemi bir noktada kesen bir doğru bir uzay belirtir.
Farklı iki düzlem daima bir uzay belirtir.

Düzlem-Uzay İlişkisi

Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler.
Uzayda kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir.
Bir $E$ düzlemi bir uzayı, kesişimleri boş küme olan iki alt uzaya ayırır.
$n$ tane düzlem uzayı

en az $n+1$ alt uzaya ayırır.
en fazla $\frac{n^3+5n+6}{6}$ alt uzaya ayırır.

Üç düzlem uzayı

en az dört uzaya ayırır.
en fazla sekiz bölgeye ayırır.

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et