Polinomlar « AhMath

Twitter Facebook RSS

Polinomlar

Bir matematiksel ifadede artı veya eksi işaretleriyle birbirlerinden ayrılan, tek başına, çarpım halinde, bir parantez içinde veya bir kesir ya da bir kök altında bulunan çokluklardan her birine terim denir.
Değişken ve sabit sayılara toplama, çıkarma, çarpma ve doğal sayılar kullanarak üs alma işlemleri uygulanarak elde edilebilen sonlu sayıdaki terimden oluşan ifadelere polinom denir.
$a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , …, $a_{n-1}$ , $a_n \in R$ ve $n \in N$ olmak üzere, genel olarak $a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_1 \cdot x + a_0$ şeklindeki ifadelere değişkeni $x$ olan, reel katsayılı, $n.$ dereceden bir polinom denir.
Bir polinom, $P$ , $Q$ veya $R$ gibi harflerle isimlendirilir.
$a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ polinomunun ismi P olsun. P polinomu $x$ değişkenine bağlı olduğundan polinomun ismi $P(x)$ şeklinde ifade edilir. Yani $P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ dir.
$a_n \cdot x^n$ , $a_{n-1} \cdot x^{n-1}$ , …, $a_1 \cdot x$ , $a_0$ ifadelerinin her birine polinomun terimleri denir.
$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$ reel sayılarına polinomun terimlerinin katsayıları denir.
Terimlerdeki değişkenlerin kuvvetleri olan $n, n_{−1}, n_{−2}, ...$ doğal sayılarına terimlerin dereceleri denir.
Polinom, terimlerinin
1. azalan derecelerine göre $a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ şeklinde veya,
2. artan derecelerine göre $a_0+a_1 \cdot x+...+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+a_n \cdot x^n$ şeklinde sıralanır.
$P(x)$ polinomunun en büyük dereceli teriminin derecesine polinomun derecesi denir ve $der[P(x)]$ şeklinde gösterilir.
Derecesi
1. $0$ olan polinoma sabit polinom,
2. $1$ olan polinoma lineer (doğrusal) polinom,
3. $2$ olan polinoma kuadratik polinom,
4. $3$ olan polinoma kübik polinom denir.
Bir polinomda en büyük dereceli teriminin katsayısına polinomun başkatsayısı denir.
Bir polinomda $a_0$ reel sayısına polinomun sabit terimi denir.
$k \in R$ ve $P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ olmak üzere, $P(k)$ sorulduğunda, $P(x)$ polinomunda $x$ görülen her yere $k$ yazılır. Yani, $P(k)=a_n \cdot k^n+a_{n-1} \cdot k^{n-1}+...+a_1 \cdot k+a_0$ dır.
$[P(x)]^n=P^n(x)$ dir.
, ve olmak üzere,
1. $P(Q(x))$ sorulduğunda, $P(x)$ polinomunda $x$ görülen her yere $Q(x)$ yazılır. Yani, $P(Q(x))=a_n \cdot Q^n(x)+a_{n-1} \cdot Q^{n-1}(x)+...+a_1 \cdot Q(x)+a_0$ dır.
2. $P(Q(x))$ verilip de $P(x)$ sorulduğunda, $P(Q(x))$ polinomunda $x$ görülen her yere $Q(x)$ polinomunun fonksiyon olarak tersi yazılır.
3. $P(Q(x))$ verilip de $P(k)$ sorulduğunda, $P(Q(x))$ polinomunda $x$ görülen her yere $Q(x)$ polinomunu $k$ yapan $x$ değeri yazılır.
Bir polinomun
1. sabit terimini bulmak için polinomda değişken yerine $0$ yazılır.
2. katsayılar toplamını bulmak için polinomda değişken yerine $1$ yazılır.
Bir polinomunda
1. çift dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı $\frac{P(1)+P(-1)}{2}$ ifadesi ile,
2. tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı $\frac{P(1)-P(-1)}{2}$ ifadesi ile bulunur.
3. $P(-1)=0$ ise, çift dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı ile tek dereceli terimlerinin katsayılarının toplamı birbirine eşittir.
$P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ polinomunda $a_n=a_{n-1}=...=a_1=0$ ise $P(x)$ polinomuna sabit polinom denir.
Sabit polinomun derecesi $0$ dır.
Sabit polinom değişkenden bağımsızdır. Yani, değişkenin aldığı değerlerden etkilenmez.
$P(x)=a_n \cdot x^n+a_{n-1} \cdot x^{n-1}+...+a_1 \cdot x+a_0$ polinomunda $a_n=a_{n-1}=...=a_1=a_0=0$ ise $P(x)$ polinomuna sıfır polinomu denir.
Sıfır polinomu özel bir sabit polinomdur.
Bir $P(x)$ polinomu sıfır polinomu ise $P(x)=0$ şeklinde gösterilir.
Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
İki polinomun eşit olabilmesi için polinomların derecelerinin eşit olması ve polinomların eşit dereceli terimlerinin katsayılarının eşit olması gerekir.

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et