Oran – Orantı « AhMath

Twitter Facebook RSS

Oran – Orantı

$a$ , $b\in R$ olmak üzere, $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ kesrine, $a$ ‘nın $b$ ‘ye oranı denir.
$a$ ‘nın $b$ ‘ye oranı, $a:b$ şeklinde gösterilebilir.
$a=b\neq0$ ise, $\displaystyle{\frac{a}{b}}=1$ dir.
$\displaystyle{\frac{a}{b}}$ ve $\displaystyle{\frac{c}{d}}$ gibi iki oranın eşitliğini ifade eden önermeye orantı denir.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ orantısı $a:b=c:d$ şeklinde gösterilebilir.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ orantısında,

içeride kalan $b$ ve $c$ ifadelerine içler,
dışarıda kalan $a$ ve $d$ ifadelerine dışlar denir.

$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ orantısında her bir oranın değerine orantı sabiti denir.
Orantı sabiti genelde $k$ harfi ile gösterilir.
$a:b=c:d=e:f$ ve $a:c:e=b:d:f$ ifadeleri üç oranın birbirine eşitliği anlamına gelir ve $\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}}$ şeklinde gösterilir.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k}$ ise, $a=b\cdot k$ , $c=d\cdot k$ ve $e=f\cdot k$ dır.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k}$ için;

$a\cdot d=b\cdot c$ dir.
$\displaystyle{\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=\frac{1}{k}}$ dır.
$\displaystyle{\frac{d}{b}=\frac{c}{a}\neq k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\neqk}$ dır.
$\displaystyle{\frac{m \cdot a}{m \cdot b}=\frac{n \cdot c}{n \cdot d}=k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{a:m}{b:m}=\frac{c:n}{d:n}=k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{m \cdot a \mp n \cdot c}{m \cdot b \mp n \cdot d}=k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}=k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{a \mp b}{b}=\frac{c \mp d}{d}=k \mp 1}$ dir.
$\displaystyle{\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}}$ dir.
$\displaystyle{\frac{a \cdot c}{b \cdot d}=k^2}$ dir.
$\displaystyle{\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=k^2}$ olduğundan $\displaystyle{\frac{a^2 + c^2}{b^2 + d^2}=k^2}$ dir.

Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri de artıyor, biri azalırken diğeri de azalıyorsa bu iki ifade doğru orantılıdır.
$y$ ile $x$ doğru orantılı ise, $k \in R^+$ olmak üzere, $\displaystyle{\frac{y}{x}=k}$ dır.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ orantısında, $a$ ile $b$ ve $c$ ile $d$ doğru orantılıdır.
Hız ile yol doğru orantılı çokluklardır.
İşçi ile iş doğru orantılı çokluklardır.
Zaman ile iş doğru orantılı çokluklardır.
Sorularda çokluklar arasındaki orantının cinsinden bahsedilmemiş ise, aralarında doğru orantı olduğu kabul edilir.
Orantılı iki ifadeden biri artarken diğeri azalıyor, biri azalırken diğeri artıyorsa bu iki ifade ters orantılıdır.
$y$ ile $x$ ters orantılı ise, $k \in R^+$ olmak üzere, $y \cdot x=k$ dır.
$\displaystyle{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}$ orantısında, $b$ ile $c$ ve $a$ ile $d$ ters orantılıdır.
Yol sabit kalmak şartı ile, hız ile zaman ters orantılı çokluklardır.
İş sabit kalmak şartı ile işçi ile zaman ters orantılı çokluklardır.
İki sayının aritmetik ortası, toplamlarının yarısıdır.
Üç sayının aritmetik ortası, toplamlarının üçte biridir.
$n$ tane sayının aritmetik ortası, bu sayıların toplamının $n$ ile bölümüdür.
$n$ tek olmak üzere, $n$ tane ardışık sayının aritmetik ortası, bu $n$ tane sayının tam ortasındakine eşittir.
$n$ çift olmak üzere, $n$ tane ardışık sayının aritmetik ortası, merkezden eşit uzaklıktaki herhangi sayı çiftinin aritmetik ortasına eşittir.

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et