Mantık « AhMath

Mantık

Bir bilim dalına ait özel anlamları olan kelimelerin her birine terim denir.
Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi tanımlama denir.
Herhangi bir terim, kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim denir.
Bazı terimler tanımlanamaz, ancak sezgi yoluyla kavranabilir. Bu terimlere tanımsız terim denir.
Doğru ya da yanlış, kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir.
Bir terimin tanımını yapmak, bu terimin kapsamına giren her şeyi, anlam itibariyle herkese her zaman her yerde aynısını ifade edecek şekilde eksiksiz belirten gayet sade ve açık bir önerme oluşturmak demektir.
Önermeler $p$ , $q$ , $r$ , $s$ , $t$ , … gibi harflerle isimlendirilir.
Bir önerme doğru hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri $1$ dir.
Bir önerme yanlış hüküm bildiriyorsa bu önermenin doğruluk değeri $0$ dır.
Önermenin doğruluk değeri denklik ile gösterilir.
tane önerme için farklı durum vardır.
1. $p$ ve $q$ gibi farklı iki önerme için farklı dört durum vardır.
2. $p$ , $q$ ve $r$ gibi farklı üç önerme için farklı sekiz durum vardır.
Doğruluğu içindeki değişkenlere bağlı olan önermelere açık önermeler denir.
Doğruluk değerleri aynı önermelere denk önermeler denir.
Bir $p$ önermesi doğru hüküm bildirirken, $p$ önermesinin olumsuzu yanlış hüküm bildirir. Yani, $p \equiv 1$ ise $p \prime \equiv 0$ dır.
Bir $p$ önermesi yanlış hüküm bildirirken, $p$ önermesinin olumsuzu doğru hüküm bildirir. Yani, $p \equiv 0$ ise $p \prime \equiv 1$ dir.
Bir $p$ önermesinin olumsuzuna bu önermenin değili denir ve $p \prime$ şeklinde gösterilir.
Bir önermenin değilinin değili, kendisidir. Yani, $(p \prime) \prime=p$ dir.
İki önermeyi birbirine bağlayan “ve”, “veya”, “ise” ve “ancak ve ancak” gibi terimlere mantıksal bağlaç denir.
İki veya daha fazla önermenin mantıksal bağlaçlar ile bağlanması ile elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.
Mantıksal bağlaçlar ile birbirine bağlanan önermelere bileşik önermenin bileşenleri denir.
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan tüm önermelerin her değeri için doğru oluyorsa bu bileşik önermeye totoloji denir.
Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan tüm önermelerin her değeri için yanlış oluyorsa bu bileşik önermeye çelişki denir.
veya bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önerme, bileşenlerinden en az bir tanesi doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.
veya bağlacı nın sembolü $\vee$ dir.
Paralel bağlı elektrik devreleri veya bağlacı için bir model teşkil eder.
veya bağlacı nın özellikleri:
1. $p \vee p \equiv p$
2. $p \vee q \equiv q \vee p$
3. $(p \vee q) \vee r \equiv p \vee (q \vee r)$
4. $p \vee p \prime \equiv 1$
5. $p \vee 0 \equiv p$
6. $p \vee 1 \equiv 1$
7. $p \vee (p \wedge q) \equiv p$
ve bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önerme, bileşenlerinin her ikisi de doğru iken doğru, herhangi bir tanesi yanlış iken yanlıştır.
ve bağlacı nın sembolü $\wedge$ dir.
Seri bağlı elektrik devreleri ve bağlacı için bir model teşkil eder.
ve bağlacı nın özellikleri:
1. $p \wedge p \equiv p$
2. $p \wedge q \equiv q \wedge p$
3. $(p \wedge q) \wedge r \equiv p \wedge (q \wedge r)$
4. $p \wedge p \prime \equiv 0$
5. $p \wedge 0 \equiv 0$
6. $p \wedge 1 \equiv p$
7. $p \wedge (p \vee q) \equiv p$
De Morgan Kuralları:
1. $(p \vee q) \prime \equiv p \prime \wedge q \prime$
2. $(p \wedge q) \prime \equiv p \prime \vee q \prime$
ise bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önerme, hipotez doğru hüküm yanlış ise yanlış, diğer tüm durumlarda doğrudur.
ise bağlacı nın sembolü $\Rightarrow$ dir.
ise bağlacı nın özellikleri:
1. $p \Rightarrow p \equiv 1$
2. $p \Rightarrow q \equiv p \prime \vee q$
3. $p \Rightarrow q \not \equiv q \Rightarrow p$ dir. Yani, değişme özelliği yoktur.
4. $p \Rightarrow 1 \equiv 1$
5. $1 \Rightarrow p \equiv p$
6. $p \Rightarrow 0 \equiv p \prime$
7. $0 \Rightarrow p \equiv 1$
8. $(p \Rightarrow q) \prime \equiv p \wedge q \prime$
9. $p \Rightarrow q \equiv q \prime \Rightarrow p \prime$ dir. Yani, bir koşullu önerme karşıt tersine denktir.
Doğruluk değeri $1$ olan koşullu önermelere gerektirme denir.
ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış iki önermenin oluşturduğu bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir.
İki yönlü koşullu önerme,
1. hipotezi ve hükmü aynı ise doğru,
2. hipotezi ve hükmü farklı ise yanlıştır.
ancak ve ancak bağlacı nın sembolü $\Leftrightarrow$ dir.
ancak ve ancak bağlacı nın özellikleri:
1. $p \Leftrightarrow q \equiv (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$
2. $p \Leftrightarrow q \equiv q \Leftrightarrow p$ dir. Yani, değişme özelliği vardır.
3. $p \Leftrightarrow p \equiv 1$ dir. Yani, tek kuvvet özelliği yoktur.
4. $p \Leftrightarrow p \prime \equiv 0$
5. $p \Leftrightarrow 0 \equiv p \prime$
6. $p \Leftrightarrow 1 \equiv p$
7. çift yönlü koşullu önermesinin değili (olumsuzu)
  1. $p \prime \Leftrightarrow q$
  2. $p \Leftrightarrow q \prime$ çift yönlü koşullu önermelerine denktir.
Doğruluk değeri $1$ olan çift yönlü koşullu önermelere çift gerektirme denir.
$p \Leftrightarrow q$ çift yönlü koşullu önermesi bir çift gerektirme ise, $p$ ile $q$ birbirinin hem gerek hem de yeter koşuludur.
Doğruluğu ispatlanamayan ama doğru olduğu kabul edilen önermelere aksiyom (belit, postulat) denir.
Hipotezi doğru olan gerektirmelere teorem denir.
$q \Rightarrow p$ teoremi, $p \Rightarrow q$ teoreminin karşıtıdır.
$p \Rightarrow q$ bileşik önermesi bir teorem olduğu halde, $q \Rightarrow p$ bileşik önermesi bir teorem olmayabilir. Böyle bir durumda $p \Rightarrow q$ teoreminin karşıtından bahsedilemez.
Bir teoremin karşıtı da doğru ise teoremi $p \Leftrightarrow q$ şeklinde ifade edebiliriz.
$p \prime \Rightarrow q \prime$ teoremi, $p \Rightarrow q$ teoreminin tersidir.
Bir teoremin tersi ya doğrudur ya da yanlıştır.
$q \prime \Rightarrow p \prime$ teoremi, $p \Rightarrow q$ teoreminin karşıt tersidir.

AhMath

Mantık

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et

Beyni Geliştiren Oyunlar

Populer Etiketler

AlexaRank

Son Yazılar

Sayfalar

Son Yorumlar

Bağlantılar