Karmaşık Sayılar « AhMath

Twitter Facebook RSS

Karmaşık Sayılar

$\sqrt{-1}$ sanal sayısına sanal sayı birimi denir.
Sanal sayı birimi $i$ ile göserilir.
$\sqrt{-1}=i \Rightarrow i^2=-1$ dir.
$a>0$ ise $\sqrt{-a}=\sqrt{a \cdot (-1)}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{-1}=\sqrt{a} \cdot i$ bir sanal sayıdır.
sanal sayı birimi olmak üzere;
1. $i^0=1$
2. $i^3=-i$
3. $i^4=1$
4. $i^n$ ifadesinde $n$ sayısının 4 ile bölümünden kalan $r$ ise, $i^n=i^r$ dir.
$i$ sanal sayı birimi olmak üzere, $i$ nin ardışık doğal sayı kuvvetlerinden oluşan bir toplamda 4′ün katı sayıda terim varsa, bu toplam sıfıra eşittir.
$a$ ve $b$ reel sayı, $i$ sanal sayı birimi olmak üzere, $a+b \cdot i$ ifadesine karmaşık (komplex) sayı denir.
karmaşık sayısında;
1. $a$ ‘ya, karmaşık sayının gerçek (reel) kısmı,
2. $b$ ‘ye, karmaşık sayının sanal (imajiner) kısmı denir.
Karmaşık sayılar genelde $z$ , $u$ , $w$ gibi harflerle isimlendirilir.
$a+b \cdot i$ karmaşık sayısı $z$ ile isimlendirilirse $z=a+b \cdot i$ şeklinde gösterilir. Bu gösterilişe $z$ nin standart biçimi denir.
karmaşık sayısının,
1. gerçek (reel) kısmı $Re(z)=a$ ,
2. sanal (imajiner) kısmı $Im(z)=b$ şeklinde gösterilir.
$\{ z: \ z=a+b \cdot i,\ a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{R},\ i^2=-1 \}$ kümesine karmaşık sayılar kümesi denir.
Karmaşık sayılar kümesinin sembolü $\mathbb{C}$ dir.
Her $a$ reel sayısı $a+0 \cdot i$ şeklinde yazılabildiğinden, bir karmaşık sayıdır. Dolayısıyla, reel sayılar kümesi karmaşık sayılar kümesinin bir alt kümesidir. Yani $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ dir.
$a$ , $b$ , $c$ , $d$ birer reel sayı ve $i$ sanal sayı birimi olmak üzere, $a+b \cdot i=c+d \cdot i \Rightarrow (a=c) \wedge (b=d)$ dir.
Koordinat düzleminde, $x$ ekseninin reel eksen ve $y$ ekseninin sanal eksen alınmasıyla elde edilen düzleme karmaşık düzlem denir.
Karmaşık sayılar, reel kısımları apsis, sanal kısımları ordinat olmak üzere, karmaşık düzlemde bir nokta ile gösterilirler.
$a$ ve $b$ reel sayı, $i$ sanal sayı birimi olmak üzere, $a+b \cdot i$ karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü bir $A$ noktası ise, $A(a, b)$ dir.
$a \pm b \cdot i$ karmaşık sayısı, $a \mp b \cdot i$ karmaşık sayısının eşleniğidir.
$z$ karmaşık sayısının eşleniği $\bar{z}$ ile gösterilir.
Karmaşık düzlemde bir karmaşık sayı ile eşleniği gerçek eksene göre simetriktir.

karmaşık sayı 1. bölgede ise eşleniği 4. bölgededir.
karmaşık sayı $y$ -ekseninin pozitif kolu üzerinde ise eşleniği $y$ -ekseninin negatif kolu üzerindedir.
karmaşık sayı 2. bölgede ise eşleniği 3. bölgededir.
karmaşık sayı $x$ -ekseni üzerinde ise eşleniği de $x$ -ekseni üzerindedir.

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine kendisidir. Yani, $z$ bir karmaşık sayı olmak üzere, $z=\overline{(\bar{z})}$ dir.
$Re(z)= \displaystyle{\frac{z + \bar{z}}{2}}$ dir.
$Im(z)= \displaystyle{\frac{z - \bar{z}}{2}}$ dir.
$n \in Z \Rightarrow \overline{(z^n)}=(\bar{z})^n$ dir.
Karmaşık düzlemde $z$ karmaşık sayısının görüntüsünün orijine olan uzaklığına $z$ nin mutlak değeri ya da modülü denir.
Bir $z$ karmaşık sayısının modülü $|z|$ ile gösterilir.
$z=a+b \cdot i$ karmaşık sayısının modülü $\sqrt{a^2+b^2}$ işlemi ile bulunur.
$a \not= 0$ ve $a$ , $b$ , $c$ birer reel sayı olmak üzere, $a \cdot x^2+b \cdot x+c=0$ denkleminin diskriminantı sıfırdan küçük ise

denklemin her iki kökü de sanaldır.
denklemin sanal kökleri $x_{1,2}= \frac{-b \mp \sqrt{ \Delta}}{2a}$ dır.

Reel katsayılı ikinci dereceden bir denklemin
1. bir kökü karmaşık sayı ise diğer kökü de karmaşık sayıdır.
2. kökleri karmaşık sayı ise, kökler birbirinin eşleniğidir.
ve olmak üzere,
1. $z_1$ ile $z_2$ toplanırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Yani, $z_1+z_2=(a+c)+(b+d) \cdot i$ ,
2. karmaşık sayılarda toplama işleminin değişme özelliği vardır. Yani, $z_1+z_2=z_2+z_1$ dir.
3. $z_1$ ile $z_2$ çıkarılırken reel ve sanal kısımlar kendi aralarında çıkarılır. Yani, $z_1-z_2=(a-c)+(b-d) \cdot i$ dir.
4. $z_1$ ile $z_2$ çarpılırken dağılma özelliği kullanılarak $z_1$ karmaşık sayısının her terimi ile $z_2$ karmaşık sayısının her terimi birbiriyle çarpılır. Elde edilen ifadede $i^2$ yerine $-1$ yazılarak sonuca gidilir. Yani, $z_1 \cdot z_2=(ac-bd)+(ad+bc) \cdot i$ dir.
5. karmaşık sayılarda çarpma işleminin değişme özelliği vardır. Yani, $z_1 \cdot z_2=z_2 \cdot z_1$ dir.
6. $z_1 : z_2= \displaystyle{\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}) \cdot i}, \ \ (z_2\not= 0)$ dir.
Bir karmaşık sayı ile eşleniğinin çarpımı, karmaşık sayının reel ve sanal kısmının karelerinin toplamına eşittir. Yani, $a$ ve $b$ reel sayı, $i$ sanal sayı birimi, $z=a+b \cdot i$ olmak üzere, $z \cdot \bar{z}=a^2+b^2=|z|^2$ dir.
$z=a+b \cdot i$ karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersi $\displaystyle{\frac{1}{z}= \frac{\bar{z}}{a^2+b^2}}$ dir.
İki karmaşık sayının toplamlarının eşleniği, eşleniklerinin toplamına eşittir. Yani, $z_1$ ve $z_2$ karmaşık sayılar olmak üzere, $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$ dir.
İki karmaşık sayının farklarının eşleniği, eşleniklerinin farkına eşittir. Yani, $z_1$ ve $z_2$ karmaşık sayılar olmak üzere, $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$ dir.
İki karmaşık sayının çarpımlarının eşleniği, eşleniklerinin çarpımına eşittir. Yani, $z_1$ ve $z_2$ karmaşık sayılar olmak üzere, $\overline{z_1 \cdot z_2}=\overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ dir.
İki karmaşık sayının oranlarının eşleniği, eşleniklerinin oranına eşittir.Yani, $z_2 \neq 0$ olmak üzere, $z_1$ ve $z_2$ karmaşık sayılar olmak üzere, $\overline{z_1 : z_2}=\overline{z_1} : \overline{z_2}$ dir.
, ve birer karmaşık sayı olmak üzere,
1. $|z|=|-z|=| \bar{z}|=| -\bar{z}|$
2. $|z_1 \cdot z_2|=|z_1| \cdot |z_2|$
3. $| \frac{z_1}{z_2}|= \frac{|z_1|}{|z_2|}$
4. $|z^n|=|z|^n$
sanal sayı birimi, ve karmaşık sayılar olmak üzere,
1. $z_1$ ve $z_2$ arasındaki uzaklık $|z_1-z_2|$ dir.
2. $|z_1-z_2|= \sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$ dir.
3. $|z|=|z-(0+0 \cdot i)|$ olduğundan $|z|$ ifadesi $z$ karmaşık sayısının orijine olan uzaklığını verir.
$i$ sanal sayı birimi, $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $r_1$ ve $r_2$ reel sayılar olmak üzere, $a+bi$ , $c+di$ ve $z=x+yi$ karmaşık sayıları için,

$\{ z: |z-(a+bi)|= r \}$ kümesi, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çember belirtir.
$\{ z: |z-(a+bi)|< r \}$ kümesi, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çemberin iç bölgesidir.
$\{ z: |z-(a+bi)|\leq r \}$ kümesi, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çemberin kendisi ve iç bölgesidir.
$\{ z: |z-(a+bi)|>r \}$ kümesi, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çemberin dış bölgesidir.
$\{ z: |z-(a+bi)|\geq r \}$ kümesi, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan çemberin kendisi ve dış bölgesidir.
$\{ z: r_1<|z-(a+bi)|< r_2 \}$ kümesi, $(a, b)$ merkezli $r_1$ ve $r_2$ yarıçaplı çemberlerin arasında kalan bölgedir.
${ z: |z-(a+bi)|=|z-(c+di)| \}$ kümesi,uç noktaları $(a, b)$ ve $(c, d)$ olan doğru parçasının orta dikmesidir.

Karmaşık düzlemde

orijin noktasına kutup denir.
x-eksenine kutupsal eksen denir.
$z$ bir karmaşık sayı olmak üzere, $z$ karmaşık sayısını orijine bağlayan doğru parçasının x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya argüment denir.
$z$ karmaşık sayısının argümenti $arg(z)$ biçiminde gösterilir.
$\theta$ , $z$ karmaşık sayısının argümenti olmak üzere, $0^{\circ} \leq \theta<360^{\circ}$ ise, $\theta$ ya esas argüment denir.
$z$ karmaşık sayısının esas argümenti $Arg(z)$ biçiminde gösterilir.
$\theta$ , $z$ karmaşık sayısının argümenti olmak üzere, $z$ karmaşık sayısını temsil eden $(|z|, \theta)$ ifadesine $z$ karmaşık sayısının kutupsal koordinatları denir.

$z=x+y \cdot i$ karmaşık sayısının kutupsal koordinatları $(|z|, \theta)$ olmak üzere,

$x=r \cdot \cos \theta$ ,
$y=r \cdot \sin \theta$ ,
$\frac{y}{x}= \tan \theta$ dır.

Argümenti $\theta$ olan $z$ karmaşık sayısının $|z| \cdot ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta)$ biçiminde gösterilmesine $z$ karmaşık sayısının kutupsal gösterimi denir.
$|z| \cdot ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta)$ ifadesi kısaca $cis \, \theta$ biçiminde ifade edilir.
$z_1=|z_1| \cdot cis \, \alpha$ ve $z_2=|z_2| \cdot cis \, \theta$ olmak üzere,

$z_1 \cdot z_2=|z_1| \cdot |z_2| \cdot cis \, (\alpha+ \theta)$
$z_1 : z_2= \frac{|z_1|}{|z_2|} \cdot cis \, (\alpha- \theta)$ dır.

Bazı özel kutupsal koordinatlar

$cis \, 0^{\circ}=1$ dir.
$cis \, 90^{\circ}=i$ dir.
$cis \, 180^{\circ}=-1$ dir.
$cis \, 270^{\circ}=-i$ dir.

Bir karmaşık sayının orijin etrafında döndürülmesi:

Bir $z$ karmaşık sayısı orijin etrafında pozitif yönde $\theta$ açısı kadar döndürüldüğünde $z \cdot cis \, \theta$ karmaşık sayısı elde edilir.
Bir $z$ karmaşık sayısı orijin etrafında $180^{\circ}$ döndürüldüğünde,

orijine göre simetriği elde edilir.
elde edilen karmaşık sayı, kendisinin toplama işlemine göre tersine eşittir.
elde edilen karmaşık sayı ile kendisinin toplamı sıfırdır.

Bir karmaşık sayının orijin etrafında pozitif yönde $\theta$ derece döndürülmesi ile negatif yönde $360 - \theta$ derece döndürülmesi eşdeğerdir.
Bir karmaşık sayı

$i$ ile çarpıldığında, orijin etrafında saat yönünde $90^{\circ}$ döndürülmüş olur.
$i^2$ ile çarpıldığında, orijin etrafında $180^{\circ}$ döndürülmüş olur.
$i^3$ ile çarpıldığında, orijin etrafında saat yönünde $270^{\circ}$ döndürülmüş olur.

De Moivre Kuralı: $z=|z| \cdot cis \, \theta$ ve $n$ tam sayı olmak üzere, $z^n=|z|^n \cdot cis \, (n \cdot \theta)$ dır.
$z^2=w$ eşitliğini sağlayan $z$ karmaşık sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.
$n \geq 3$ olmak üzere $x^n=z$ denkleminde $n$ yerine $0, 1, 2, ..., n-1$ değerleri verilerek bulunan köklerin karmaşık düzlemdeki görüntüleri bir düzgün $n$ -genin köşeleridir.

Bir Cevap Yazın Cevabı iptal et